02拓扑排序
# 02 拓扑排序
拓扑排序(topological sort)是一种常见的,对有向无环图排序的算法。给定有向无环图中的 N 个节点,我们把它们排序成一个线性序列;若原图中节点 i 指向节点 j,则排序结果中 i 一定在 j 之前。拓扑排序的结果不是唯一的,只要满足以上条件即可。
# 207 课程表 (opens new window)
给定学期必须选修 numCourses 门课程,记为 0 到 numCourses - 1 。在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出,其中 prerequisites[i] = [ai, bi]
,表示如果要学习课程 ai
则 必须 先学习课程 bi
。
例如,先修课程对 [0, 1] 表示:想要学习课程 0 ,需要先完成课程 1 。
请判断是否可能完成所有课程的学习?如果可以,返回 true ;否则,返回 false 。
输入:numCourses = 4, prerequisites = [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]] 输出:true 解释:总共有 4 门课程。要学习课程 3,你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。因此,课程是可能完成的。
解析:
拓扑排序的主要思路就是:考虑每一个节点的入度,当节点入度为 0 时,将其加入排序序列,同时将其指向的其他节点的入度减 1,所有节点完成遍历之后得到最终拓扑排序。
对于本题我们可以先为拓扑图建立一个邻接矩阵表示图,题目中节点是后置课程指向前置课程,这在获取拓扑排序结果时是反向的。所以,我们在建立邻接矩阵时将所有边反向,使得如果课程 i 指向课程 j,那么课程 i 需要在课程 j 前面先修完。
根据拓扑排序的思路,我们使用广度优先搜索解决本题:
- 我们先遍历一遍所有节点,把入度为 0 的节点(即没有前置课程要求)放在队列中
- 在每次从队列中获得节点时,我们将该节点放在目前排序的末尾
- 同时,遍历该节点指向的后置课程,并且把这些课程的入度各减 1。如果在这个过程中该节点的后置课程中出现了入度为 0,那么该后置课程的前置课程都已经完成了,将其加入可选队列。
- 当队列为空时,说明所有节点都已经遍历完成,或者是图中存在环路导致无法取得拓扑排序结果。
class Solution {
public:
bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
// 构建邻接表
vector<vector<int>> graph(numCourses,vector<int>());
vector<int> indegree(numCourses,0); // 记录各节点入度
for(const auto edge:prerequisites){
int prev = edge[1];
int next = edge[0];
graph[prev].push_back(next);
++indegree[next];
}
// 入度为 0 的压入队列
queue<int> que;
for(int i=0;i<numCourses;++i){
if(!indegree[i]){
que.push(i);
}
}
// 使用队列进行广度优先遍历
while(!que.empty()){
int node = que.front();
que.pop();
for(const auto next:graph[node]){
--indegree[next];
if(!indegree[next]){
que.push(next);
}
}
}
// 遍历完之后如果还存在 入度不为 0 的节点,说明存在环路
for(const auto degree:indegree){
if(degree){
return false;
}
}
return true;
}
};
# 210 课程表 II (opens new window)
给定 N 个课程和这些课程的前置必修课,求可以一次性上完所有课的顺序
输入是一个正整数,表示课程数量,和一个二维矩阵,表示所有的有向边,例如 [1,0] 表示上课程 1 之前必须先上课程 0。输出是一个一维数组,表示拓扑排序结果。
输入:numCourses = 4, prerequisites = [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]] 输出:[0,2,1,3] 解释:总共有 4 门课程。要学习课程 3,你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。因此,一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3] 。
解析:
拓扑排序的主要思路就是:考虑每一个节点的入度,当节点入度为 0 时,将其加入排序序列,同时将其指向的其他节点的入度减 1,所有节点完成遍历之后得到最终拓扑排序。
对于本题我们可以先为拓扑图建立一个邻接矩阵表示图,题目中节点是后置课程指向前置课程,这在获取拓扑排序结果时是反向的。所以,我们在建立邻接矩阵时将所有边反向,使得如果课程 i 指向课程 j,那么课程 i 需要在课程 j 前面先修完。
根据拓扑排序的思路,我们使用广度优先搜索解决本题:
- 我们先遍历一遍所有节点,把入度为 0 的节点(即没有前置课程要求)放在队列中
- 在每次从队列中获得节点时,我们将该节点放在目前排序的末尾
- 同时,遍历该节点指向的后置课程,并且把这些课程的入度各减 1。如果在这个过程中该节点的后置课程中出现了入度为 0,那么该后置课程的前置课程都已经加入到了排序结果中,则将该后置课程加入队列中。
- 当队列为空时,说明所有节点都已经遍历完成,或者是图中存在环路导致无法取得拓扑排序结果。
class Solution {
public:
vector<int> findOrder(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
vector<vector<int>> graph(numCourses,vector<int>());
vector<int> indegree(numCourses,0);
for(const auto edge:prerequisites){
// 让前置课程指向后置课程
graph[edge[1]].push_back(edge[0]);
// 后置课程入度+1
++indegree[edge[0]];
}
queue<int> q;
// 将入度为0的节点加入队列
for(int i=0;i<numCourses;++i){
if(!indegree[i]){
q.push(i);
}
}
// 广度优先搜索 遍历图
vector<int> res;
while(!q.empty()){
const auto node = q.front();
q.pop();
res.push_back(node);
// 遍历当前节点的所有后置课程
for(const auto post:graph[node]){
--indegree[post];
if(!indegree[post]){
q.push(post);
}
}
}
// 如果存在节点入度不为0,那么图中存在环,不能完成所有课程
for(const auto degree:indegree){
if(degree){
return {};
}
}
return res;
}
};