02 拓扑排序

​ 拓扑排序（topological sort）是一种常见的，对有向无环图排序的算法。给定有向无环图中的 N 个节点，我们把它们排序成一个线性序列；若原图中节点 i 指向节点 j，则排序结果中 i 一定在 j 之前。拓扑排序的结果不是唯一的，只要满足以上条件即可。

207 课程表 (opens new window)

给定学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程 bi 。

例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，需要先完成课程 1 。

请判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。

输入：numCourses = 4, prerequisites = [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]] 输出：true 解释：总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。因此，课程是可能完成的。

解析：

​ 拓扑排序的主要思路就是：考虑每一个节点的入度，当节点入度为 0 时，将其加入排序序列，同时将其指向的其他节点的入度减 1，所有节点完成遍历之后得到最终拓扑排序。

​ 对于本题我们可以先为拓扑图建立一个邻接矩阵表示图，题目中节点是后置课程指向前置课程，这在获取拓扑排序结果时是反向的。所以，我们在建立邻接矩阵时将所有边反向，使得如果课程 i 指向课程 j，那么课程 i 需要在课程 j 前面先修完。

​ 根据拓扑排序的思路，我们使用广度优先搜索解决本题：

• 我们先遍历一遍所有节点，把入度为 0 的节点（即没有前置课程要求）放在队列中
• 在每次从队列中获得节点时，我们将该节点放在目前排序的末尾
• 同时，遍历该节点指向的后置课程，并且把这些课程的入度各减 1。如果在这个过程中该节点的后置课程中出现了入度为 0，那么该后置课程的前置课程都已经完成了，将其加入可选队列。
• 当队列为空时，说明所有节点都已经遍历完成，或者是图中存在环路导致无法取得拓扑排序结果。

class Solution {
public:
    bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
        // 构建邻接表
        vector<vector<int>> graph(numCourses,vector<int>());
        vector<int> indegree(numCourses,0); // 记录各节点入度
        for(const auto edge:prerequisites){
            int prev = edge[1];
            int next = edge[0];
            graph[prev].push_back(next);
            ++indegree[next];
        }

        // 入度为 0 的压入队列
        queue<int> que;
        for(int i=0;i<numCourses;++i){
            if(!indegree[i]){
                que.push(i);
            }
        }

        // 使用队列进行广度优先遍历
        while(!que.empty()){
            int node = que.front();
            que.pop();
            for(const auto next:graph[node]){
                --indegree[next];
                if(!indegree[next]){
                    que.push(next);
                }
            }
        }

        // 遍历完之后如果还存在 入度不为 0 的节点，说明存在环路
        for(const auto degree:indegree){
            if(degree){
                return false;
            }
        }

        return true;
    }
};

210 课程表 II (opens new window)

给定 N 个课程和这些课程的前置必修课，求可以一次性上完所有课的顺序

输入是一个正整数，表示课程数量，和一个二维矩阵，表示所有的有向边，例如 [1,0] 表示上课程 1 之前必须先上课程 0。输出是一个一维数组，表示拓扑排序结果。

输入：numCourses = 4, prerequisites = [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]] 输出：[0,2,1,3] 解释：总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。因此，一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3] 。

解析：

​ 拓扑排序的主要思路就是：考虑每一个节点的入度，当节点入度为 0 时，将其加入排序序列，同时将其指向的其他节点的入度减 1，所有节点完成遍历之后得到最终拓扑排序。

​ 对于本题我们可以先为拓扑图建立一个邻接矩阵表示图，题目中节点是后置课程指向前置课程，这在获取拓扑排序结果时是反向的。所以，我们在建立邻接矩阵时将所有边反向，使得如果课程 i 指向课程 j，那么课程 i 需要在课程 j 前面先修完。

​ 根据拓扑排序的思路，我们使用广度优先搜索解决本题：

• 我们先遍历一遍所有节点，把入度为 0 的节点（即没有前置课程要求）放在队列中
• 在每次从队列中获得节点时，我们将该节点放在目前排序的末尾
• 同时，遍历该节点指向的后置课程，并且把这些课程的入度各减 1。如果在这个过程中该节点的后置课程中出现了入度为 0，那么该后置课程的前置课程都已经加入到了排序结果中，则将该后置课程加入队列中。
• 当队列为空时，说明所有节点都已经遍历完成，或者是图中存在环路导致无法取得拓扑排序结果。

class Solution {
public:
    vector<int> findOrder(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
        vector<vector<int>> graph(numCourses,vector<int>());
        vector<int> indegree(numCourses,0);
        for(const auto edge:prerequisites){
            // 让前置课程指向后置课程
            graph[edge[1]].push_back(edge[0]);
            // 后置课程入度+1
            ++indegree[edge[0]];
        }

        queue<int> q;
        // 将入度为0的节点加入队列
        for(int i=0;i<numCourses;++i){
            if(!indegree[i]){
                q.push(i);
            }
        }

        // 广度优先搜索 遍历图
        vector<int> res;
        while(!q.empty()){
            const auto node = q.front();
            q.pop();
            res.push_back(node);
            // 遍历当前节点的所有后置课程
            for(const auto post:graph[node]){
                --indegree[post];
                if(!indegree[post]){
                    q.push(post);
                }
            }
        }

        // 如果存在节点入度不为0,那么图中存在环，不能完成所有课程
        for(const auto degree:indegree){
            if(degree){
                return {};
            }
        }
        
        return res;
    }
};